selalu bersama: Trigonometri

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigōnon "segitiga" + metron "mengukur" ^[1] ) adalah cabang dari matematika yang mempelajari segitiga dan hubungan antara sisi dan sudut antara sisi. Trigonometri mendefinisikan fungsi trigonometri , yang menggambarkan hubungan-hubungan dan penerapan terhadap fenomena siklis, seperti gelombang. Bidang berkembang selama abad ketiga SM sebagai cabang dari geometri digunakan secara ekstensif untuk studi astronomi. ^[2] Ini juga merupakan dasar dari seni praktis dari survei .
Dasar-dasar trigonometri sering diajarkan di sekolah baik sebagai kursus terpisah atau sebagai bagian dari precalculus saja. Fungsi trigonometri merembes di bagian matematika murni dan matematika terapan seperti analisis Fourier dan persamaan gelombang , yang pada gilirannya penting untuk banyak cabang ilmu pengetahuan dan teknologi. trigonometri Bulat studi segitiga pada bidang , permukaan positif konstan kelengkungan , di berbentuk bulat panjang geometri . Hal ini penting untuk astronomi dan navigasi . Trigonometri pada permukaan kelengkungan negatif adalah bagian dari geometri hiperbolik .

Sejarah

Sumeria diperkenalkan astronom mengukur sudut, menggunakan pembagian lingkaran menjadi 360 derajat. ^[4] Mereka dan penerus mereka, Babel mempelajari rasio dari sisi segitiga yang sama dan menemukan beberapa sifat rasio ini, tetapi tidak mengubah itu menjadi metode sistematis untuk menemukan sisi dan sudut segitiga. Para Nubia kuno menggunakan metode yang sama. ^[5] Para Yunani kuno berubah menjadi sebuah ilmu trigonometri memerintahkan. ^[6]

Klasik matematikawan Yunani (seperti Euclid dan Archimedes ) mempelajari sifat-sifat akord dan sudut tertulis dalam lingkaran, dan membuktikan teorema yang setara dengan rumus trigonometri modern, meskipun mereka disajikan mereka geometris daripada aljabar. Claudius Ptolemy diperluas Hipparchus Chords 'dalam Lingkaran dalam bukunya Almagest . ^[7] yang modern fungsi sinus pertama kali didefinisikan dalam Surya Siddhanta , dan sifat-sifatnya yang lebih didokumentasikan oleh abad ke-5 matematikawan India dan astronom Aryabhata . ^[8] Karya-karya Yunani dan India diterjemahkan dan dikembangkan oleh abad pertengahan matematikawan Islam . Pada abad ke-10, matematikawan Islam menggunakan semua enam fungsi trigonometri, telah ditabulasi nilai-nilai mereka, dan menerapkan mereka untuk masalah dalam geometri bola . ^{[ kutipan diperlukan ]} Pada waktu yang sama, Cina matematika trigonometri dikembangkan secara mandiri, meskipun bukan utama bidang studi bagi mereka. Pengetahuan tentang fungsi trigonometri dan metode mencapai Eropa melalui terjemahan Latin dari karya-karya astronom Persia dan Arab seperti Al Battani dan Nasir al-Din al-Tusi . ^[9] Salah satu karya awal tentang trigonometri oleh matematikawan Eropa De Triangulis oleh abad ke-15 Jerman matematika Regiomontanus . Trigonometri masih sangat sedikit diketahui di Eropa abad ke-16 yang Nicolaus Copernicus menghabiskan dua bab dari De orbium revolutionibus coelestium untuk menjelaskan konsep-konsep dasarnya.
Didorong oleh tuntutan navigasi dan meningkatnya kebutuhan untuk peta yang akurat dari daerah yang luas, trigonometri tumbuh menjadi cabang utama matematika. ^[10] Bartholomaeus Pitiscus adalah yang pertama untuk menggunakan kata, penerbitan Trigonometria di 1595. ^[11] Gemma Frisius dijelaskan untuk pertama kalinya metode triangulasi masih digunakan hari ini di survei. Itu adalah Leonhard Euler yang sepenuhnya dimasukkan ke dalam bilangan kompleks trigonometri. Karya-karya James Gregory pada abad 17 dan Colin Maclaurin di abad ke-18 sangat berpengaruh dalam pengembangan dari seri trigonometri. ^[12] Juga pada abad ke-18, Brook Taylor mendefinisikan umum Taylor seri . ^[13]

Ikhtisar

Dalam segitiga siku-siku: dosa A = a / c; cos A = b / c; tan A = a / b.

Jika salah satu sudut sebuah segitiga adalah 90 derajat dan salah satu sudut lainnya diketahui, ketiga adalah demikian tetap, karena tiga sudut dari segitiga pun menambahkan hingga 180 derajat. Kedua sudut akut sehingga menambahkan hingga 90 derajat: mereka sudut komplementer . Para bentuk segitiga adalah sepenuhnya ditentukan, kecuali kesamaan , oleh sudut. Setelah sudut diketahui, rasio dari sisi ditentukan, terlepas dari ukuran keseluruhan segitiga. Jika panjang salah satu sisi diketahui, dua lainnya ditentukan. Rasio ini diberikan oleh berikut fungsi-fungsi trigonometri dari sudut yang dikenal A, di mana a, b dan c mengacu pada panjang sisi dalam gambar terlampir:

Sinus fungsi (dosa), didefinisikan sebagai rasio dari sisi yang berlawanan sudut ke miring .

$\ Sin A = \ frac {\ textrm {berlawanan}} {\ textrm {miring}} = \ frac {a} {\, c \,} \,.$

Kosinus fungsi (cos), didefinisikan sebagai rasio dari berdekatan kaki ke sisi miring.

$\ Cos A = \ frac {\ textrm {berdekatan}} {\ textrm {miring}} = \ frac {b} {\, c \,} \,.$

Tangent fungsi (tan), didefinisikan sebagai rasio dari kaki ke kaki yang berlawanan yang berdekatan.

$\ Tan A = \ frac {\ textrm {berlawanan}} {\ textrm {berdekatan}} = \ frac {a} {\, b \,} = \ frac {\ sin A} {\ cos A} \,.$

Sisi miring adalah kebalikan sisi ke sisi sudut 90 derajat dalam segitiga siku-siku, itu adalah sisi terpanjang segitiga, dan salah satu dari dua sisi berdekatan dengan sudut A. Kaki yang berdekatan adalah sisi lain yang berbatasan dengan sudut A. Sisi sebaliknya adalah sisi yang berlawanan dengan sudut A. Tegak lurus dan basis istilah kadang-kadang digunakan untuk sisi yang berlawanan dan berbatasan masing-masing. Banyak penutur bahasa Inggris merasa mudah untuk mengingat apa sisi segitiga siku-siku sama dengan sinus, kosinus, tangen atau, dengan menghafal kata SOH-CAH-TOA (lihat di bawah Mnemonik ).
Para kebalikan dari fungsi-fungsi ini bernama cosecan (csc atau cosec), secan (detik), dan cotangen (tempat tidur), masing-masing:

$\ Csc A = \ frac {1} {\ sin A} = \ frac {c} {a},$

$\ Sec A = \ frac {1} {\ cos A} = \ frac {c} {b},$

$\ Cot A = \ frac {1} {\ tan A} = \ frac {\ cos A} {\ sin A} = \ frac {b} {a}.$

Para fungsi invers disebut arcsine, arccosine, dan arctangent, masing-masing. Ada hubungan antara aritmatika fungsi, yang dikenal sebagai identitas trigonometri . Kosinus, cotangen, dan cosecan sangat bernama karena mereka masing-masing sinus, tangen, secan dan sudut pelengkap disingkat "co-".
Dengan fungsi-fungsi ini satu dapat menjawab hampir semua pertanyaan tentang segitiga sewenang-wenang dengan menggunakan hukum sinus dan cosinus hukum . Hukum-hukum ini dapat digunakan untuk menghitung sudut yang tersisa dan sisi segitiga manapun secepat dua sisi dan sudut mereka disertakan atau dua sudut dan sisi atau tiga sisi diketahui. Hukum-hukum ini berguna dalam semua cabang geometri, karena setiap poligon dapat digambarkan sebagai kombinasi terbatas segitiga.

Memperluas definisi

Gambar. 1a - sinus dan kosinus dari sudut θ didefinisikan dengan menggunakan lingkaran satuan.

Definisi di atas berlaku untuk sudut antara 0 dan 90 derajat (0 dan π / 2 radian ) saja. Menggunakan unit lingkaran , seseorang dapat memperpanjang mereka semua argumen positif dan negatif (lihat fungsi trigonometri ). Fungsi trigonometri periodik , dengan periode 360 derajat atau radian 2π. Itu berarti nilai-nilai mereka berulang pada interval tersebut. Fungsi tangen dan cotangen juga memiliki waktu yang lebih singkat, dari 180 derajat atau radian π.
Fungsi-fungsi trigonometri dapat didefinisikan dengan cara lain selain definisi geometris di atas, dengan menggunakan alat dari kalkulus dan deret takterhingga . Dengan definisi fungsi trigonometri dapat didefinisikan untuk bilangan kompleks . Fungsi eksponensial kompleks sangat berguna.

e x + i y = e x (cos y + i y dosa).

Lihat Euler dan De Moivre yang formula.

Proses grafik dari y = sin (x) dengan menggunakan lingkaran satuan.
Proses grafik y = tan (x) dengan menggunakan lingkaran satuan.
Proses grafik dari y = csc (x) dengan menggunakan lingkaran satuan.

Ilmu tentang cara menghafal

Artikel utama: Mnemonik dalam trigonometri

Penggunaan umum dari mnemonik adalah untuk mengingat fakta-fakta dan hubungan dalam trigonometri. Sebagai contoh, sinus, kosinus, tangen dan rasio dalam sebuah segitiga siku-siku dapat diingat oleh yang mewakili mereka sebagai string huruf. Sebagai contoh, sebuah mnemonic untuk penutur bahasa Inggris adalah SOH-CAH-TOA:

S = O Ine pposite ÷ H ypotenuse

C osine = A djacent ÷ H ypotenuse

T = O pposite angent ÷ djacent A

Salah satu cara untuk mengingat huruf adalah suara mereka fonetik (yaitu "SOH-CAH-TOA", yang diucapkan 'begitu-kə-tow'-uh '). ^[14] Metode lain adalah untuk memperluas huruf menjadi kalimat , seperti "S ome O ld H ippy sedikit pun C A O nother H ippy T Rippin 'n A cid". ^[15]

fungsi trigonometri Menghitung

Artikel utama: tabel trigonometri Membangkitkan

Fungsi trigonometri di antara awal untuk menggunakan tabel matematika . Tabel tersebut dimasukkan ke dalam buku teks matematika dan siswa diajarkan untuk mencari nilai-nilai dan cara interpolasi antara nilai yang tercantum untuk mendapatkan akurasi yang lebih tinggi. aturan Slide memiliki timbangan khusus untuk fungsi-fungsi trigonometri.
Hari ini kalkulator ilmiah memiliki tombol untuk menghitung fungsi trigonometri utama (sin, cos, tan cis dan kadang-kadang) dan invers mereka. Paling memungkinkan pilihan metode pengukuran sudut: derajat, radian dan, kadang-kadang, lulusan . ^{[ kutipan diperlukan ]} Kebanyakan komputer bahasa pemrograman menyediakan perpustakaan fungsi yang meliputi fungsi-fungsi trigonometri. Para floating point unit yang keras dimasukkan ke dalam chip mikroprosesor yang digunakan dalam komputer pribadi yang paling memiliki built-in instruksi untuk menghitung fungsi trigonometri ^{[. rujukan? ]}

Aplikasi trigonometri

Sekstan digunakan untuk mengukur sudut matahari atau bintang sehubungan dengan cakrawala. Menggunakan trigonometri dan kronometer laut , posisi kapal dapat ditentukan dari pengukuran tersebut.

Artikel utama: Menggunakan trigonometri

Ada sejumlah besar penggunaan trigonometri dan fungsi trigonometri. Sebagai contoh, teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk mengukur jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk mengukur jarak antara landmark, dan dalam sistem navigasi satelit . Fungsi sinus dan cosinus merupakan dasar bagi teori fungsi periodik seperti yang yang menggambarkan suara dan cahaya gelombang.
Field yang menggunakan fungsi trigonometri atau trigonometri termasuk astronomi (terutama untuk mencari posisi nyata dari benda-benda langit, di mana trigonometri bola sangat penting) dan karenanya navigasi (pada lautan, di dalam pesawat terbang, dan di ruang angkasa), teori musik , akustik , optik , analisis pasar keuangan, elektronik , teori probabilitas , statistik , biologi , pencitraan medis ( CAT scan dan ultrasound ), farmasi , kimia , teori angka (dan karenanya kriptologi ), seismologi , meteorologi , oseanografi , banyak ilmu fisika , tanah survei dan geodesi , arsitektur , fonetik , ekonomi , teknik elektro , teknik mesin , teknik sipil , grafik komputer , kartografi , kristalografi dan pengembangan game .

identitas Standar

Identitas adalah mereka persamaan yang berlaku untuk nilai apapun.

$\ Sin ^ 2 A + \ cos ^ 2 A = 1 \$

$\ Sec ^ 2 A - \ tan ^ 2 A = 1 \$

$\ Csc ^ 2 A - \ cot ^ 2 A = 1 \$

Sudut transformasi formula

$\ Sin (A + B) = \ sin A \ cdot \ cos B + \ cos A \ cdot \ sin B$

$\ Cos (A + B) = \ cos A \ cdot \ cos B - \ sin A \ cdot \ sin B$

$\ Sin (A - B) = \ sin A \ cdot \ cos B - \ cos A \ cdot \ sin B$

$\ Cos (A - B) = \ cos A \ cdot \ cos B + \ sin A \ cdot \ sin B$

rumus umum

Segitiga dengan sisi a, b, c dan sudut yang berlawanan masing-masing A, B, C

Persamaan tertentu yang melibatkan fungsi trigonometri adalah benar untuk semua sudut dan dikenal sebagai identitas trigonometri. Beberapa identitas menyamakan ekspresi ke ekspresi yang berbeda yang melibatkan sudut yang sama. Ini tercantum dalam Daftar identitas trigonometri . Segitiga identitas yang berhubungan sisi dan sudut dari sebuah segitiga yang diberikan tercantum di bawah ini.
Dalam identitas berikut, A, B dan C adalah sudut dari sebuah segitiga dan a, b dan c adalah panjang sisi segitiga yang berlawanan sudut masing-masing.

Hukum sinus

Para hukum sinus (juga dikenal sebagai "aturan sinus") untuk menyatakan segitiga sewenang-wenang:

$\ Frac {a} {\ sin A} = \ frac {b} {\ sin B} = \ frac {c} {\ sin C} = 2R,$

dimana R adalah jari-jari lingkaran- segitiga:

$R = \ frac {abc} {\ sqrt {(a + b + c) (a-b + c) (a + bc) (b + ca)}}.$

Hukum lain yang melibatkan sinus dapat digunakan untuk menghitung luas segitiga. Mengingat dua sisi dan sudut antara sisi, luas segitiga adalah:

$\ Mbox {Luas} = \ frac {1} {2} b \ dosa C.$

Semua fungsi trigonometri dari sudut θ dapat dibangun secara geometris dalam hal lingkaran satuan berpusat di O.

Hukum cosinus

Para hukum cosinus (dikenal sebagai rumus kosinus, atau "aturan cos") adalah perluasan dari Teorema Pythagoras pada segitiga sewenang-wenang:

$c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab \ cos C, \,$

atau ekuivalen:

$\ Cos C = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2} {2ab} \,.$

Hukum tangents

Para hukum garis singgung :

$\ Frac {ab} {a + b} = \ frac {\ tan \ left [\ tfrac {1} {2} (AB) \ right]} {\ tan \ left [\ tfrac {1} {2} (A + B) \ right]}$

Rumus Euler

Rumus Euler , yang menyatakan bahwa

e i x = cos x + i sin x,

menghasilkan berikut analitis identitas untuk sinus, kosinus, dan tangen dalam hal e dan satuan imajiner i:

$\ Sin x = \ frac {e ^ {ix} - e ^ {-ix}} {2i}, \ qquad \ cos x = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2}, \ qquad \ tan x = \ frac {i (e ^ {-ix} - e ^ {ix})} {e ^ {ix} + e ^ {-ix}}.$

Lihat juga

Referensi

^ "trigonometri" . Kamus Etimologi .
^ R. Nagel (ed.), Encyclopedia of Science, Ed 2, Grup Gale (2002).
^ Boyer (1991). "Yunani Trigonometri dan pengukuran". hal 162.
^ Aaboe, Asger. Episode dari Sejarah Awal Astronomi. New York:. Springer, 2001 ISBN 0-387-95136-9
^ Sebuah sejarah matematika astronomi kuno: dalam tiga bagian. Oleh Otto Neugebauer. pg. 744
^ " Yang Awal Trigonometri ". Rutgers, Universitas Negara Bagian New Jersey.
^ Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson (2004) ". Sherlock Holmes di Babel: dan cerita lain dari sejarah matematika ". MAA . hal.36. ISBN 0883855461
^ Boyer p215
^ Boyer p237, p274
^ . Grattan-Guinness, Ivor (1997) Pelangi Matematika: Sebuah Sejarah Ilmu Matematika. WW Norton. ISBN 0-393-32030-8 .
^ Ilmiah Percobaan Terobosan, Penemuan, dan Penemuan
^ William Bragg Ewald (2008) ". Dari Kant untuk Hilbert: buku sumber di dasar matematika ". Oxford University Press AS . hal.93. ISBN 0198505353
^ Kelly Dempski (2002) ". Fokus pada Permukaan Kurva dan ". hal. 29. ISBN 159200007X
^ Weisstein, Eric W. , " SOHCAHTOA "dari MathWorld .
^ Sebuah kalimat yang lebih sesuai untuk sekolah tinggi, "Beberapa kuda tua datang a'hopping melalui gang kami." Foster, Jonathan K. (2008) Memori:. Sebuah Pengantar Sangat Singkat. Oxford. hal 128. ISBN 0192806750 .

Laman

Jumat, 06 Januari 2012

Trigonometri